Question

18．已知A（a，0），B（0，b），且分式$\frac{1}{a+b}$無意義．
（1）若a＞0，C的坐標(biāo)為（-1，0），且AH⊥BC于H．M交OB于點(diǎn)P．求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）連HO，求證：∠OHP=45°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分式$\frac{1}{a+b}$無意義．即可求得a，b的值，根據(jù)AH⊥BC即可求得AH的解析式，即可解題；
（2）作OQ⊥AH，即可求得OQ=HQ，即可求得∠OHP=45°．

解答 解：（1）∵分式$\frac{1}{a+b}$無意義，
∴a=-b，
∴B（0，-a），
∴直線BC解析式為y=-ax-a，
∵AH⊥BC，
∴直線AH斜率為$\frac{1}{a}$，
∵直線AH過A點(diǎn)，
∴直線AH解析式為y=$\frac{1}{a}$x-1，
∵點(diǎn)P橫坐標(biāo)為0，
∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)為-1，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，-1）；
（2）作OQ⊥AH，

∵OQ⊥AH，且直線OQ過O點(diǎn)，
∴OQ解析式為y=-ax，
∵直線AH解析式為y=$\frac{1}{a}$x-1，直線BC解析式為y=-ax-a，
設(shè)Q坐標(biāo)為（x，-ax），則-ax=$\frac{1}{a}$x-1，解得：x=$\frac{a}{{a}^{2}+1}$
∴交點(diǎn)Q坐標(biāo)為（$\frac{a}{{a}^{2}+1}$，-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$），
設(shè)H坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{a}$x-1），則$\frac{1}{a}$x-1=-ax-a，解得：x=-$\frac{3a}{{a}^{2}+1}$，
∴點(diǎn)H坐標(biāo)為（-$\frac{3a}{{a}^{2}+1}$，-$\frac{5a}{{a}^{2}+1}$），
∴QH=OQ，
∴∠OHP=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面直角坐標(biāo)系中線段長(zhǎng)度的求解，考查了一次函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)用，本題中根據(jù)一次函數(shù)求點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．