Question

14．如圖，已知頂點為（-3，-6）的拋物線y=ax²+bx+c經過點（-1，-4），下列結論：①b²＞4ac；②ax²+bx+c≥-6；③若點（-2，m），（-5，n）在拋物線上，則m＞n；④關于x的一元二次方程ax²+bx+c=-4的兩根為-5和-1，其中正確的有（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 利用拋物線與x軸的交點個數可對①進行判斷；利用拋物線的頂點坐標可對②進行判斷；由頂點坐標得到拋物線的對稱軸為直線x=-3，則根據二次函數的性質可對③進行判斷；根據拋物線的對稱性得到拋物線y=ax²+bx+c上的點（-1，-4）的對稱點為（-5，-4），則可對④進行判斷．

解答 解：∵拋物線與x軸有2個交點，
∴△=b²-4ac＞0，
即b²＞4ac，所以①正確；
∵拋物線的頂點坐標為（-3，-6），
即x=-3時，函數有最小值，
∴ax²+bx+c≥-6，所以②正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x=-3，
而點（-2，m），（-5，n）在拋物線上，
∴m＜n，所以③錯誤；
∵拋物線y=ax²+bx+c經過點（-1，-4），
而拋物線的對稱軸為直線x=-3，
∴點（-1，-4）關于直線x=-3的對稱點（-5，-4）在拋物線上，
∴關于x的一元二次方程ax²+bx+c=-4的兩根為-5和-1，所以④正確．
故選C．

點評 本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數由△決定：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．