Question

在直角坐標系xOy 中，已知某二次函數的圖象經過A（－4，0）、B（0，－3），與x軸的正半軸相交于點C，若△AOB∽△BOC（相似比不為1）．
小題1:（1）求這個二次函數的解析式；
小題2:（2）求△ABC的外接圓半徑r；
小題3:（3）在線段AC上是否存在點M（m，0），使得以線段BM為直徑的圓與線段AB交于N點，且以點O、A、N為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

小題1:⑴∵△AOB∽△BOC（相似比不為1），
∴. 又∵OA="4," OB=3,
∴OC=3²×=. ∴點C(, 0).                         …………………1分
設圖象經過A、B、C三點的函數解析式是y=ax²+bx+c,
則c= -3，且                       …………………2分
即
解得,a=, b=.
∴這個函數的解析式是y =x²+x-3. 
小題2:⑵∵△AOB∽△BOC（相似比不為1），
∴∠BAO=∠CBO.
又∵∠ABO+ ∠BAO =90°，
∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°.             ………………4分
∴AC是△ABC外接圓的直徑.
∴ r =AC=×[-(-4)]=.
小題3:⑶∵點N在以BM為直徑的圓上，
∴∠MNB=90°.                                     ……………………6分
①.    當AN=ON時，點N在OA的中垂線上，
∴點N₁是AB的中點，M₁是AC的中點.
       ∴AM₁=" r" =，點M₁(-, 0)，即m₁= -.             ………………7分
②.     當AN=OA時，Rt△AM₂N₂≌Rt△ABO，
∴AM₂=AB=5，點M₂(1, 0)，即m₂=1.
③. 當ON=OA時，點N顯然不能在線段AB上.
綜上，符合題意的點M（m，0）存在，有兩解：
m= -，或1.   

略