Question

在Rt中，，，，點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于點E．點M在線段AP上，點N在線段BP上，且PM=PN，．

小題1:（1）如圖①，當點E與點C重合時，求MP的長；
小題2:（2）設，△ENB的面積為y，求y與x的函數關系式，并求出當x取何值時，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

小題1:解：（1）∵在Rt中，，，，
∴． …………………………1分
由面積公式可得 ．
∴． ……………………………………2分
∵PE⊥AB，，
∴
小題2:（2）分兩種情況考慮：
①當點在線段AC上時，如圖②，
在Rt△AEP和Rt△ABC中，
∵，，
∴△APE∽△ACB．
∴，即 ，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．………………4分
當點E與點C重合時，．
∴自變量x的取值范圍是：． …………………………………5分
②當點在線段BC上時，如圖③，
在Rt△BPE和Rt△BCA中，
∵，，
∴△BPE∽△BCA．
∴，即 ，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
y與x的函數關系式為 ……………6分
當點在線段AC上時，，
此時，當時，y有最大值為．
而當點在線段BC上時，y的最大值為點E與點C重合時，顯然沒有大．
∴當時，y有最大值，最大值為．

略