Question

【題目】如圖，在正方形中，，為對(duì)角線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著方向以每秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)求證：；

(2)求y與x之間關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

(3)求面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) ；(3)面積的最大值是50．

【解析】

（1）作輔助線(xiàn)，構(gòu)建三角形全等，證明△AEM≌△EFN和△ADE≌△CDE（SAS），可得AE=CE=EF；

（2）分兩種情況：根據(jù)三角形的面積公式可得y與x之間關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)勾股定理計(jì)算BD的長(zhǎng)可得x的取值；

（3）根據(jù)（2）中的兩種情況，分別利用配方法和二次函數(shù)的增減性可得結(jié)論．

(1)證明：過(guò)作，交于，交于，

∵四邊形是正方形，

∴，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵四邊形是正方形，

∴，，

∵，

∴，

∴；

（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：，

∴0≤x≤5，

由題意得：BE=2x，

∴BN=EN=x，

由（1）知：AE=EF=EC，

分兩種情況：

①當(dāng)0≤x≤時(shí)，如圖1，

∵AB=MN=10，

∴ME=FN=10-x，

∴BF=FN-BN=10-x-x=10-2x，

∴y；

②當(dāng)＜x≤5時(shí)，如圖2，過(guò)E作EN⊥BC于N，

∴EN=BN=x，

∴FN=CN=10-x，

∴BF=BC-2CN=10-2（10-x）=2x-10，

∴y=；

綜上，y與x之間關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式為：；

（3）解：①當(dāng)0≤x≤時(shí)，如圖1，

，

∵-2＜0，

∴當(dāng)x=時(shí)，y有最大值是；

②當(dāng)＜x≤5時(shí)，如圖2，

∴y=2x2-5x=2（x-）2-，

∵2＞0，

∴當(dāng)x＞時(shí)，y隨x的增大而增大

∴當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值是50；

綜上，△BEF面積的最大值是50．