Question

已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，點O是AB的中點，將一塊直角三角板的直角頂點與點O重合并將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)，圖中的M、N分別為直角三角板的直角邊與邊AC、BC的交點．

 

（1）如圖①，當(dāng)點M與點A重合時，求BN的長．

（2）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時，即點M在AC上（不與A、C重合），

①猜想圖②中、、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由．

②若在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中滿足CM=CN，請你直接寫出此時BN的長．

 

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）連接AN，則AN=BN,利用勾股定理在Rt△CAN中可求出AN的值；

（2）延長NO到E，使EO=NO，連結(jié)AE、EM、MN，可證△EOA≌△NOB得AE=BN，由垂直平分線性質(zhì)可得MN=EM，由勾股定理可得，，最后等量代換可得結(jié)論．

試題解析：（1）如圖，連接AN,則有：AN=BN

在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，

∴BC=

設(shè)BN=x,則AN=x，CN=8-x

在Rt△CAN中,AN2=AC2+CN2

∴x2=62+（8-x）2

解得：x= ,

即BC=.

（2）如圖，延長NO到E，使EO=NO，連結(jié)AE、EM、MN，

∵OA=OB，OE=ON，∠EOA=∠NOB

∴△EOA≌△NOB

∴AE=BN，∠EAO=∠B

∵∠B+∠BAC=90°

∴∠EAO+∠BAC=90°

∴

又

又知：EM=MN

∴

②

考點：勾股定理.