Question

9．已知：在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在邊BC、AB、AC上，
（1）若DE∥AC，DF∥AB，且AE=AF，則四邊形AEDF是菱形形；
（2）如圖，若DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，作CH⊥AB于點H，求證：CH=DE+DF．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形AEDF是平行四邊形，再證明是菱形．
（2）方法一利用面積法即可證明，方法二如圖3，過C作CG⊥DE交ED的延長線于點G，先證明四邊形EGCH是矩形，再證明△CDF≌△CDG即可．

解答 解：（1）結論：菱形．
理由：如圖1中，

∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵AE=AF，
∴四邊形AEDF是菱形．

（2）解法一：如圖2，連接AD，

∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•CH$，${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AB•DE$，${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}AC•DF$
又S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}AB•CH=\frac{1}{2}AB•DE+\frac{1}{2}AC•DF$，
又AB=AC，
∴CH=DE+DF．
解法二：如圖3，過C作CG⊥DE交ED的延長線于點G，則∠CGE=90°，

∵∠GEH=∠EHC=90°，
∴四邊形EGCH是矩形，
∴CH=EG=ED+DG，
∵∠B+∠BDE=90°，∠ACB+∠CDF=90°，
而由AB=AC可知：∠B=∠ACB
∴∠BDE=∠CDF，
又∵∠BDE=∠CDG，
∴∠CDF=∠CDG，
在△CDF和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠CDG}\\{∠DFC=∠G=90°}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CDG，
∴DF=DG，
∴CH=DE+DF．

點評 本題考查等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質，菱形的判定和性質、面積法等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，學會利用面積解決問題，屬于中考常考題型．