Question

17．M是拋物線y²=4x上一點，F是焦點，且MF=4．過點M作準線l的垂線，垂足為K，則三角形MFK的面積為4$\sqrt{3}$．該拋物線的焦點與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的一個焦點相同，且雙曲線的離心率為2，那么該雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 設M（m，n），則m=$\frac{{n}^{2}}{4}$，求得拋物線的焦點坐標，準線方程，運用拋物線的定義，求得m，n，再由三角形的面積公式計算三角形MFK的面積；運用雙曲線的離心率公式可得c=2a=1，再由a，b，c的關系，求得b，由漸近線方程即可得到所求．

解答 解：設M（m，n），則m=$\frac{{n}^{2}}{4}$，
焦點F（1，0），準線l：x=-1，
由拋物線的定義可得MF=m+1=4，
可得m=3，n=±2$\sqrt{3}$，
則三角形MFK的面積為$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．
由題意可得c²=a²+b²=1，
e=$\frac{c}{a}$=2，
解得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x，
即為y=±$\sqrt{3}$x．
故答案為：4$\sqrt{3}$，y=±$\sqrt{3}$x，．

點評 本題考查拋物線的焦點和準線，以及定義的運用，同時考查雙曲線的焦點和漸近線方程和離心率，考查運算能力，屬于中檔題．