Question

圖中，直角三角形ABC 的兩條直角邊AB 和BC 的長度分別為3和4，將三角形ABC繞點C順時針旋轉至A₁B₁C，使得A₁C與B₁C在直線l上．
A₁A交B₁C于D，求

AD

A1D

．

Answer 1

分析：如圖，作三角形ABC關于A₁B對稱的三角形A₂BC，連結AB₁，A₂B和A₂C，根據角之間的關系推出A₂、C、B₁ 三點共線，然后根據三角形的面積與底成正比的關系，解決問題．

解答：解：如圖，作三角形ABC關于A₁B對稱的三角形A₂BC，連結AB₁，A₂B和A₂C，

因為AB=3，BC=4，所以A₂C=5，B₁C=4，S△AA₂C=2S△_ABC=12．
因為∠ACB+∠ACB₁+∠A₁CB₁=∠ACB+∠ACB₁+∠A₂CB=180°，
所以A₂、C、B₁ 三點共線，且

S△AA2C

S△AB1C

=

A2C

B1C

=

5

4

，即S△AB1C=

48

5

．
因為

S△ACD

S△CDA1

=

AD

A1D

，且

S△ADB1

S△B1A1D

=

AD

A1D

，
所以

S△ACD+S△AB1D

S△CDA+S△CA1D

=

AD

A1D

．
因此，

AD

A1D

=

48

5

×

1

6

=

8

5

．

點評：此題通過作輔助線，運用三角形的面積與底成正比的關系，解決問題．