Question

3．三個自然數的最大公約數是10，最小公倍數是100，滿足要求的三個數一共有8組．

Answer 1

分析 設三個數是10a，10b，10c，則abc三數互質，且最小公倍數是10，則a，b，c都是10的約數，10的約數是1，2，5，10，若有2個1，則還有一個一定是10，若只有一個1，則另兩個可能是，2，5或2，10或5，10或10，10，若沒有1，則若有2個2，則另一個必須是5，若只有1個2，則另兩個可能是，5，5或5，10，若1和2都沒有，則只有5和10，這樣不符合abc三數互質，所以10a，10b，10c分別是：10，10，100；10，20，50；10，20，100；10，50，100；10，100，100；20，20，50，；20，50，50；20，50，100，有8組．

解答 解：10=2×5，100=2×2×5×5，
所以三個數中，質因數2有出現1次也有出現2次的，可能是2，2，2×2或2，2×2，2×2，同理，5也是，
若是2，2，2×2和5，5，5×5搭配，有2種情況，
所以共有2×4=8種情況，
10，10，100；10，20，50；10，20，100；10，50，100；10，100，100；20，20，50，；20，50，50；20，50，100，有8組．
答：滿足要求的三數組共有8組．
故答案為：8．

點評 此題主要考查公約數與公倍數問題，根據最大公約數和最小公倍數確定原來三數是多少．