Question

3個三位數乘積的算式 abc×bca×cab=234235286，（其中a＞b＞c）在校對時，發現右邊的積的數字順序出現錯誤，但是知道最后一位6是正確的．問：原式中的abc是多少？

Answer 1

分析：考慮除以9的余數，我們用x≡y（mod9），表示x，y除以9的余數相同，也就是x-y是9的倍數，讀作x與y模9同余，熟知一個自然數與它的數字和模9同余．

解答：解：234235286≡2+3+4+2十3+5+2+8+6≡8（mod 9）
abc×bca×cab≡（a+b+c）3（mod 9）
于是 （a+b+c）3≡8（mod 9）
從而（用a+b+c≡0，1，2，…，8代入上式檢驗） a+b+c≡2，5，8（mod 9）（1）
對a進行討論
如果a=9，那么 b+c≡2，5，8（mod 9）（2）
又c×a×b的個位數字是6，所以 b×c=4×1=7×2=8×3=6×4
其中只有（b，c）=（4，1），（8，3）符合（2），經檢驗只有 983×839×398=328245326 符合題意
如果a=8，那么 b+c≡3，6，O（mod9）（3）
又b×c=2×1=4×3=6×2=7×6=7×1，其中只有（b，c）=（2，1），符合（3）．
經檢驗abc=921，不合題意
如果a=7，那么 b+c≡4，7，1（mod 9）（4）
又b×c=4×2=6×3，其中沒有符合（4）的b、c
如果a≤6，那么abc×bca×cab＜700×600×500=210000000＜222334586，
因此這時abc不可能符合題意．
綜上所述，abc=983是本題唯一的解．

點評：本題采用枚舉法（也稱為窮舉法），分情況進行討論，這是一種極常用的方法．