Question

某旅游度假村有一游泳池，裝有若干根彼此相同的進水管，以及若干根彼此相同的出水管，每根水管進水或出水的速度都保持不變．游泳池中現(xiàn)已裝有部分水，如果打開1根進水管，8根出水管，30分鐘可將水池中的水全部排光．如果打開1根進水管，5根出水管，60分鐘可將水池中的水全部排光．現(xiàn)在打開1根進水管和2根出水管，然后每隔5分鐘就增開1根進水管和3根出水管，直到打開第n根進水管5分鐘后，水池中的水正好全部排光，即停止操作，求：n是多少？

Answer 1

分析：開1根進水管，8根出水管，30分鐘可將水池中的水全部排光．如果打開1根進水管，5根出水管，60分鐘可將水池中的水全部排光；這兩次排水中，進水管都是一根，排水管少了8-5=3根，時間多用了30分鐘，則這三根排水管30分能排完水池水的一半，則如果不開進行水管，單開出水管的話，6根出水管30分鐘就能排完，如果單開一根出水管的話，則需要180分鐘排完，由于開1根進水管，8根出水管，30分鐘可將水池中的水全部排光，所以一根進水管的進水量相當(dāng)于2根排水管的出水量．
由此可知，第一個5分鐘內(nèi)，有根進水管和2根出水管，此時進水量與出水量相等，這五分鐘內(nèi)池中水量不發(fā)生變化；
然后每隔5分鐘就增開1根進水管和3根出水管，實則每增加五分鐘就增加一個出水管的出水量，即增加

5

180

=

1

36

的出水量，所以第二個五分鐘結(jié)束后的出水量為

1

36

，第三個五分鐘結(jié)整后的出水量為

1

36

+

2

36

×2，則第m個五分鐘結(jié)束后出水量為

1

16

+

1

16

×2+

1

16

×3+…

1

36

×m，由于第n根進水管5分鐘后，水池中的水正好全部排光，所以

1

36

+

1

36

×2+

1

36

×3+…

1

36

×n=1，由此即能求出m是多少．而n=m+1．

解答：解：由題意可知，只開8-5=3根排水管，60-30=30分鐘能排完水的一半；
則只開6根出水管30分鐘就能排完，如果單開一根出水管的話，則需要30×6=180分鐘排完，
又由于開1根進水管，8根出水管，30分鐘可將水池中的水全部排光，
所以一根進水管的進水量相當(dāng)于8-6=2根排水管的出水量．
由此可知，單開一根排水管5分鐘可排水池水的

5

180

=

1

36

，
由于直到打開第n根進水管5分鐘后，水池中的水正好全部排光，則：

1

36

+

1

36

×2+

1

36

×3+…

1

36

×n=1
即

1

36

+

2

36

+

3

36

+…+

n

36

=1，
所以1+2+3+…+n=36，
即（n+1）×n÷2=36，

n2+n

2

=36，
經(jīng)驗證，n=8．
則打開第8+1=9根進水管5分鐘后，水池中的水正好全部排光，即n=9．

點評：首先根據(jù)已知條件求出一根排水管與一根進水管進水量與排水量的比是完成本題的關(guān)鍵．