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求證：(1)平行六面體的各對角線交于一點，并且在這一點互相平分．

(2)對角線相等的平行六面體是長方體．

已知：平行六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁

求證：(1)對角線AC₁、BD₁、CA₁、DB₁相交于一點，且在這點互相平分；

(2)若AC₁＝BD₁＝CA₁＝DB₁時，該平行六面體為長方體．

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若函數f（x）為奇函數，當x≥0時，f（x）=2x²-4x（如圖）．
（1）求函數f（x）的表達式，并補齊函數f（x）的圖象；
（2）用定義證明：函數y=f（x）在區間[1，+∞）上單調遞增．

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一：填空題

1、2；  2、x∈R，使x²+1＜x；  3、π；  4、；  5、既不充分也不必要條件；

6、1+i；   7、；     8、5；     9、；    10、(-∞, -)∪(,+∞)；

11、2或5；    12、9；  13、b₁?b₂²?b₃³?…?b_nⁿ=；    14、；

二:解答題

15．解：（1）∵(a=(cosα,sinα) (b=(cosβ,sinβ)

∴(a?(b=cos(α-β) =cos=         …………………………………………5分

（2）∵∴………7分

α+β=2α-(α-β)= -(α-β)         ……………………………………9分

∴或或7……………14分

16、證明：（1）令BC中點為N，BD中點為M，連結MN、EN

∵MN是△ABC的中位線

∴   MN∥CD       …………………………2分

由條件知AE∥CD ∴MN∥AE 又MN=CD=AE 

∴四邊形AEMN為平行四邊形

∴AN∥EM …………………………4分

∵AN面BED, EM面BED

∴AN∥面BED……………………6分

（2）   ∵AE⊥面ABC, AN面ABC

∴AE⊥AN  又∵AE∥CD,AN∥EM∴EM⊥CD………………8分

∵N為BC中點，AB=AC∴AN⊥BC

∴EM⊥BC………………………………………………10分

∴EM⊥面BCD…………………………………………12分

∵EM面BED  ∴  面BED⊥面BCD  ……14分

17．解：（1）取弦的中點為M，連結OM

由平面幾何知識，OM=1

                   …………………………………………3分

解得：，               ………………………………………5分

∵直線過F、B ，∴則     …………………………………………7分

（2）設弦的中點為M，連結OM

則

              ……………………………………10分

解得                       …………………………………………12分

∴……………………………15分

18．（1）延長BD、CE交于A，則AD=，AE=2

     則S_△ADE= S_△BDE= S_△BCE=,  ∵S_△APQ=，

    ∴ ∴…………………7分

（2）

          =?………………12分

    當，即……15分

19．解（1）證：       由  得

在C₁上點處的切線為y-2e=2(x-e)，即y=2x

又在C₂上點處切線可計算得y-2e=2(x-e)，即y=2x

∴直線l與C₁、C₂都相切，且切于同一點（e,2e）      …………………5分

（2）據題意：M(t, +e),N(t,2elnt),P(t,2t)

∵+e-2t=≥0,∴+e ≥2t

設h(t)= 2t-2elnt，則由h^/(t)=2-=0得t=e ；

當t∈（0,e）時h^/(t)＜0，h(t)單調遞減；且當t∈（e,+∞）時h^/(t)＞0，h(t)單調遞增；

∴t＞0有h(t)≥h(e)=0  ∴2t≥2elnt

∴f(t)=+e-2t-(2t-2elnt)= +e -4t+2elnt………………4分

f(t)= +2e-4==≥0…………………7分

   ∴在上遞增∴當時………10分

（3）

設上式為 ，假設取正實數，則?

當時，，遞減；

當，，遞增． ……………………………………12分

∵                 

∴不存在正整數，使得即              …………………16分

20．解：（1），

，對一切恒成立

的最小值，又 ，………………4分

（2）這5個數中成等比且公比的三數只能為

只能是，

      …………………………8分

,,

，顯然成立             ……………………………………12分

當時，，

∴ ∴使成立的自然數n恰有4個正整數的p值為3……16分

三：理科附加題

21． A．解：(1)

∴   ∴AB=CD                          …………………………4分

（2）由相交弦定理得2×1=(3+OP)(3-OP)

∴，∴               ……………………………………10分

B．解：依題設有：     ………………………………………4分

 令，則           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

  ………………………………10分

C．解：以有點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標方程．  ……………………………………3分

同理為圓的直角坐標方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過交點的直線的直角坐標方程為． …………………………10分

D．證明：（1）因為

    所以          …………………………………………4分

    （2）∵   …………………………………………6分

    同理，，……………………………………8分

    三式相加即得……………………………10分

22．解：（1）記“恰好選到1個曾參加過數學研究性學習活動的同學”為事件的,

則其概率為                …………………………………………4分

    答：恰好選到1個曾經參加過數學研究性學習活動的同學的概率為

（2）隨機變量

P(ξ=2)= =; P(ξ=3)= =;………7分

2

3

4

P

  ∴隨機變量的分布列為

                    ………………10分

23．（1），，，

，,………………3分

   （2）平面BDD₁的一個法向量為，設平面BFC₁的法向量為

∴

取得平面BFC₁的一個法向量

∴所求的余弦值為                     ……………………………………6分

（3）設（）

，由得

即，

,當時，當時，∴   ……………10分