Question

若f（x）在R上可導，
（1）求f（-x）在x=a處的導數與f（x）在x=-a處的導數的關系；
（2）證明：若f（x）為偶函數，則f′（x）為奇函數．

Answer 1

分析：（1）利用導數的定義，求出f（-x）在x=a處的導數與f（x）在x=-a處的導數，比較即可；
（2）利用導數的定義，求出f′（x），然后判斷其奇偶性．

解答：（1）解：設f（-x）=g（x），則
g′（a）=

lim

△x→0

g(a+△x)-g(a)

△x

=

lim

△x→0

f(-a-△x)-f(-a)

△x

=-

lim

-△x→0

f(-a-△x)-f(-a)

-△x

=-f′（-a）．
∴f（-x）在x=a處的導數與f（x）在x=-a處的導數互為相反數．
（2）證明：f′（-x）=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-f′（x）．
∴f′（x）為奇函數．

點評：用導數的定義求導數時，要注意△y中自變量的變化量應與△x一致．