Question

（1）黑板上寫有2005個連續的自然數：2，3，4，…，2005，2006．甲乙兩位同學來做一個游戲：兩人輪流擦去黑板上的數字，每人每次擦掉一個，甲先乙后．直到最后剩下兩個數為止．這時如果黑板上的兩個數互質，則甲勝；如果黑板上的兩個數不是互質數，則乙勝．問甲有必勝的策略嗎？
（2）如果黑板上寫的是2004個自然數2，3，…，2004，2005時，按（1）的規則游戲，誰有必勝的策略？

Answer 1

分析：（1）甲采用如下策略：先擦去2006，然后將剩下的2004個自然數分為1002組，（2，3）（4，5），…（2004，2005），乙擦去哪個組的一個數，甲接著就擦去同一組的另個數，這樣最后剩下的兩個數是相鄰的兩個數，而相鄰的兩個數是互質的，所以甲必勝；
（2）乙必勝的策略：①當甲始終擦去偶數時，乙留下一對不互質的奇數，例如，3和9，而擦去其余的奇數；②當甲從某一步開始擦去奇數時，乙可以跟著擦去奇數，這樣最后給乙留下的三個數有兩種情況，一種是剩下一個偶數和兩個奇數3和9，此時乙擦掉那個偶數，另一種是至少兩個偶數，此時已留下兩個偶數就可以了．

解答：解：（1）甲采用如下策略：先擦去2006，然后將剩下的2004個自然數分為1002組，（2，3）（4，5），…（2004，2005），
乙擦去哪個組的一個數，甲接著就擦去同一組的另個數，這樣最后剩下的兩個數是相鄰的兩個數，而相鄰的兩個數是互質的，
所以甲必勝；

（2）乙必勝的策略：
①當甲始終擦去偶數時，乙留下一對不互質的奇數，例如，3和9，而擦去其余的奇數；
②當甲從某一步開始擦去奇數時，乙可以跟著擦去奇數，
這樣最后給乙留下的三個數有兩種情況，
一種是剩下一個偶數和兩個奇數3和9，此時乙擦掉那個偶數，
另一種是至少兩個偶數，
此時乙留下兩個偶數就可以了．

點評：解答本題的關鍵是（1）甲先擦掉2006，保證最后剩下的是兩個數為相鄰的數即可；（2）是看甲如何擦，乙再靈活采取措施，保證剩下的兩個數不是互質數．