Question

已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)B（2，0）的直線l（斜率不等于零）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），且△OBE與△OBF的面積之比為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)求得a，進(jìn)而求得c，則b可求的，橢圓的方程可得．
（2）設(shè)直線l方程，與橢圓方程聯(lián)立消去x，根據(jù)判別式大于0氣度而m的一個(gè)范圍，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）利用韋達(dá)定理可分別表示出y₁y₂和y₁+y₂，根據(jù)三角形面積之比求得由此可知，，即y₂=2y₁．代入y₁y₂和y₁+y₂中，進(jìn)而求得m的范圍．
解答：解：（1）橢圓C的方程為，
由已知得，
解得，
∴所求橢圓的方程為，
（2）由題意知l的斜率存在且不為零，
設(shè)l方程為x=my+2（m≠0）①，代入，整理得（m²+2）y²+4my+2=0，由△＞0得m²＞2．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則=2 ②
由已知，，則，
由此可知，，即y₂=2y₁．
代入 ②得，，消去y₁得，
解得，，滿足m²＞2．
即．
所以，所求直線l的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍．