Question

已知橢圓C：的長軸長是短軸長的倍，F₁，F₂是它的左，右焦點．
（1）若P∈C，且，|PF₁|•|PF₂|=4，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過動點Q作以F₂為圓心、以1為半徑的圓的切線QM（M是切點），且使QF₁|=|QM|，，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）依題意知①，
∵，∴PF₁⊥PF₂，∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=4（a²-b²）=8b²，
又P∈C，由橢圓定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a，（|PF₁|+|PF₂|）²=8b²+8=4a²--②，
由①②得a²=6，b²=2．所以橢圓C的方程為．
（2）由（1）得c=2．∴F₁（-2，0）、F₂（2，0）
由已知，即|QF₁|²=2|QM|²，
∵QM是⊙F₂的切線，∴|QM|²=|QF₂|²-1，∴|QF₁|²=2（|QF₂|²-1）．
設Q（x，y），則（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]，
即（x-6）²+y²=34（或x²+y²-12x+2=0），
綜上所述，所求動點Q的軌跡方程為：（x-6）²+y²=34．
分析：（1） 利用 和|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²，以及|PF₁|+|PF₂|=2a 求出a²和b²的值，解得橢圓C的方程．
（2）由條件可得|QF₁|²=2|QM|²，再由QM是⊙F₂的切線 可得|QM|²=|QF₂|²-1，故有|QF₁|²=2（|QF₂|²-1）．
設Q（x，y），代入上式化簡即得動點Q的軌跡方程．
點評：本題考查橢圓的定義、橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質的應用，其中，由條件得出|QF₁|²=2（|QF₂|²-1），
是解題的關鍵，體現了數形結合的數學思想．