Question

已知橢圓C：的長軸長為，離心率．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點B（2，0）的直線l（斜率不等于零）與橢圓C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），且△OBE與△OBF的面積之比為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓的標準方程，根據離心率求得a和c的關系，根據長軸長求得a，進而求得c，則b可求的，橢圓的方程可得．
（2）設直線l方程，與橢圓方程聯立消去x，根據判別式大于0氣度而m的一個范圍，設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）利用韋達定理可分別表示出y₁y₂和y₁+y₂，根據三角形面積之比求得由此可知，，即y₂=2y₁．代入y₁y₂和y₁+y₂中，進而求得m的范圍．
解答：解：（1）橢圓C的方程為，
由已知得，
解得，
∴所求橢圓的方程為，
（2）由題意知l的斜率存在且不為零，
設l方程為x=my+2（m≠0）①，代入，整理得（m²+2）y²+4my+2=0，由△＞0得m²＞2．
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），則=2 ②
由已知，，則，
由此可知，，即y₂=2y₁．
代入 ②得，，消去y₁得，
解得，，滿足m²＞2．
即．
所以，所求直線l的方程．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍．