Question

如圖，AB為半圓O的直徑，OC⊥AB交⊙O于C，P為BC延長線上一動(dòng)點(diǎn)，D為AP中點(diǎn)，DE⊥PA，交半徑OC于E，連CD．下列結(jié)論：①PE⊥AE；②DC=DE；③∠OEA=∠APB；④PC+

2

CE為定值．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．l個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

①如圖：∵點(diǎn)D是AP的中點(diǎn)，且DE⊥AP，∴DE是AP的垂直平分線，
又AB是半⊙O的直徑，OC⊥AB，∴OC是AB的垂直平分線，
∴點(diǎn)E是△ABP的外心，
∵∠ABC=45°，∴∠AEP=90°（同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半）
∴PE⊥AE，故①正確．
②∵AB是半⊙O的直徑，∴∠ACB=90°=∠ACP=∠AEP，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)E在以點(diǎn)D為圓心的同一個(gè)圓上，∴DC=DE，故②正確．
③由①知點(diǎn)E是△ABP的外心，∴∠APB=

1

2

∠AEB=∠AEO，故③正確．
④在直角△APC中，PC=AP•cos∠APC=

2

AE•cos∠AE0=

2

AE•

OE

AE

=

2

OE，
∴PC+

2

CE=

2

OE+

2

CE=

2

（OE+CE）=

2

OC，
∴PC+

2

CE為定值，是⊙O半徑的

2

倍．故④正確．
故選D．