Question

我們知道1+2+3+…n=

1

2

n（n+1），期中n是自然數．現在來研究一個類似的問題：1×2+2×3+…+n（n+1）=？觀察下面三個特殊等式：
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2）；
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）
3×4=

1

3

（3×4×5-2×3×4）
將這三個等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4=

1

3

（3×4×5）=20，讀完這段材料，請完成下面各空：
（1）1×2+2×3+…+n（n+1）=

 

．
（2）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

 

．

Answer 1

分析：觀察已知的三個等式，得出一般性的規律，根據得出的規律表示出1×2+2×3+…+n（n+1）的每一項，抵消合并后即可得到結果；依此類推得到1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4），
總結出一般性規律，將各項變形后，去括號合并即可得到結果．

解答：解：（1）1×2+2×3+…+n（n+1），
=

1

3

（1×2×3-0×1×2）+

1

3

（2×3×4-1×2×3）+…+

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
=

1

3

n（n+1）（n+2）；

（2）依此類推：1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4），
所以：1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2），
=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3）+

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+

1

4

[（n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案為：

1

3

n（n+1）（n+2）；

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．

點評：此題考查了規律型：數字的變化類，其中弄清題意，得出一般性的規律是解本題的關鍵．