Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n²+a_n-

1

4

（n∈N^*）
（1）證明：數列{lg（a_n+

1

2

）是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）記數列{b_n}滿足b_n=lg（a_n+

1

2

），求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的通項公式,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）把已知的遞推式變形，得到an+1+

1

2

=(an+

1

2

)2，兩邊取對數后得數列{lg（a_n+

1

2

）}是等比數列，求其通項公式后可得數列{a_n}的通項公式；
（2）直接利用等比數列的前n項和公式得答案．

解答： 證明：（1）由a_n+1=a_n²+a_n-

1

4

，得an+1+

1

2

=(an+

1

2

)2，
∴lg(an+1+

1

2

)=lg(an+

1

2

)2=2lg(an+

1

2

)，
∴

lg(an+1+ 1 2 )

lg(an+ 1 2 )

=2．
則數列{lg（a_n+

1

2

）}是以lg(a1+

1

2

)=lg

5

2

為首項，以2為公比的等比數列，
∴lg(an+

1

2

)=(lg

5

2

)•2n-1，即an+

1

2

=(

5

2

)2n-1，
∴an=(

5

2

)2n-1-

1

2

；
（2）∵數列{lg（a_n+

1

2

）}是以lg(a1+

1

2

)=lg

5

2

為首項，以2為公比的等比數列，
∴Sn=n•lg

5

2

+

2n(n-1)

2

=lg(

5

2

)n+n2-n．

點評：本題考查了等比關系的確定，考查了等比數列的通項公式與等比數列的前n項和，是中檔題．