Question

已知兩個自然數的和是60，他們的最大公約數與最小公倍數之和是84，求這兩個自然數各是多少？

Answer 1

分析：首先假設出這個兩數，得出有關兩數和是60，它們的最大公約數與最小公倍數之和是84的兩個方程，再進行分析得出符合要求的取值．

解答：解：設所求二數為x，y，且（x，y）=d，令x=ad，y=bd，則（a，b）=1．
根據題意有

a+b= 60 d 1+ab= 84 d

，
由于（60，84）=12，
所以d=l，2，3，4，6，12．
而當d：1，2，3，4，6時，方程組無解．
當d=12時，方程組變為

a+b=5 ab=6

，
解得

a=2 b=3

或

a=3 b=2

．
故所求的兩數為x=24，y=36．
答：這兩個自然數為24和36．

點評：此題主要考查了方程組的解法以及最大公約數與最小公倍數的性質，正確的出d的取值是解決問題的關鍵．