Question

任意給定2002個自然數，證明：其中必有若干個自然數，和是2002的倍數（單獨一個數也當作和）．

Answer 1

考點：數的整除特征

專題：整除性問題

分析：這2002個數為a1，a2，…，a2002，令Sn=a1+…+an （n=1，2，…，2002）即Sn為an的前n項和這樣得到S1，S2，..，S2002共2002個數．若其中有某個Sk為2002的倍數，則a1+a2+…+ak的和為2002的倍數，據此即可解答問題．

解答： 解：這2002個數為a1，a2，…，a2002
令Sn=a1+…+an （n=1，2，…，2002）即Sn為an的前n項和
這樣得到S1，S2，..，S2002共2002個數．
若其中有某個Sk為2002的倍數，則a1+a2+…+ak的和為2002的倍數，證畢．
若其中不存在這樣的sk，則S1，S2，..，S2002這2002個數除以2002的余數必為1至2001中的某一個，有2002個數，但余數只有2001種情況，根據抽屜原理，至少有兩數余數相同，記為sp和sq并假設p＜q．
于是sq-sp除以2002余數為0，即為2002的倍數．
于是a（p+1）+a（p+2）+…+aq 這（q-p）個數的和為2002的倍數

點評：此題主要考查整除的意義，及根據整除的意義和數的整除的特征解決有關的問題．