Question

一個(gè)圓的圓周長為1.26米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時(shí)出發(fā)沿圓周相向爬行．這兩只螞蟻每秒鐘分別爬行5.5厘米和3.5厘米，在運(yùn)動(dòng)過程中它們不斷地調(diào)頭．如果把出發(fā)算作第零次調(diào)頭，那么相鄰兩次調(diào)頭的時(shí)間間隔順次是1秒、3秒、5秒、…，即是一個(gè)由連續(xù)奇數(shù)組成的數(shù)列．問它們相遇時(shí)，已爬行的時(shí)間是多少秒？

Answer 1

分析：對于這種不斷改變前進(jìn)方向的問題，我們先看簡單的情況：

在一條直線上，如上面圖形，一只螞蟻先從0點(diǎn)出發(fā)向右走，然后按照經(jīng)過1秒、3秒…改變方向．由于它的速度沒有變化，可以認(rèn)為螞蟻每秒鐘走一格．
第一次改變方向時(shí)，它到A₁，走1格，OA₁=1格；
第二次改變方向時(shí)，它到A₂，走3格，OA₂=2格；
第三次改變方向時(shí)，它到A₃，走5格，OA₃=3格；
第四次改變方向時(shí)，它到A₄，走7格，OA₄=4格；
第五次改變方向時(shí)，它到A₅，走9格，OA₅=5格．
我們不難發(fā)現(xiàn)，小螞蟻的活動(dòng)范圍在不斷擴(kuò)大，每次離0點(diǎn)都遠(yuǎn)了一格．當(dāng)兩只螞蟻活動(dòng)范圍重合時(shí)，也就是它們相遇的時(shí)候．另外我們從上面的分析可知，每一次改變方向時(shí)，兩只螞蟻都在出發(fā)點(diǎn)的同一側(cè)．這樣，通過相遇問題，我們可以求出它們改變方向的次數(shù)，進(jìn)而求出總時(shí)間．

解答：解：由前面分析知，每一次改變方向時(shí)，兩只螞蟻之間的距離都縮短：
5.5+3.5=9（厘米）．
所以，到相遇時(shí)，它們已改變方向：
1.26×100÷2÷9=7（次）．
也就是在第7次要改變方向時(shí)，兩只螞蟻相遇，用時(shí)：
1+3+5+7+9+11+13=49（秒）．
答：它們相遇時(shí)，已爬行的時(shí)間是49秒．

點(diǎn)評：此題通過找路程規(guī)律來解答，找出每次爬行縮小的距離關(guān)系規(guī)律，再求出到相遇時(shí)，它們改變方向的次數(shù)，進(jìn)而求出總時(shí)間．