Question

一個圓的圓周長為1.26米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時出發沿圓周相向爬行．這兩只螞蟻每秒鐘分別爬行5.5厘米和3.5厘米，在運動過程中它們不斷地調頭．如果把出發算作第零次調頭，那么相鄰兩次調頭的時間間隔順次是1秒、3秒、5秒、…，即是一個由連續奇數組成的數列．問它們相遇時，已爬行的時間是多少秒？

Answer 1

解：由前面分析知，每一次改變方向時，兩只螞蟻之間的距離都縮短：
5.5+3.5=9（厘米）．
所以，到相遇時，它們已改變方向：
1.26×100÷2÷9=7（次）．
也就是在第7次要改變方向時，兩只螞蟻相遇，用時：
1+3+5+7+9+11+13=49（秒）．
答：它們相遇時，已爬行的時間是49秒．
分析：對于這種不斷改變前進方向的問題，我們先看簡單的情況：

在一條直線上，如上面圖形，一只螞蟻先從0點出發向右走，然后按照經過1秒、3秒…改變方向．由于它的速度沒有變化，可以認為螞蟻每秒鐘走一格．
第一次改變方向時，它到A₁，走1格，OA₁=1格；
第二次改變方向時，它到A₂，走3格，OA₂=2格；
第三次改變方向時，它到A₃，走5格，OA₃=3格；
第四次改變方向時，它到A₄，走7格，OA₄=4格；
第五次改變方向時，它到A₅，走9格，OA₅=5格．
我們不難發現，小螞蟻的活動范圍在不斷擴大，每次離0點都遠了一格．當兩只螞蟻活動范圍重合時，也就是它們相遇的時候．另外我們從上面的分析可知，每一次改變方向時，兩只螞蟻都在出發點的同一側．這樣，通過相遇問題，我們可以求出它們改變方向的次數，進而求出總時間．
點評：此題通過找路程規律來解答，找出每次爬行縮小的距離關系規律，再求出到相遇時，它們改變方向的次數，進而求出總時間．