Question

在面積為120平方厘米的等邊三角形ABC中，由P點與三個頂點A、B、C連接并形成三個完全相同的三角形．D、E、F分別是△ABC三邊上的中點，相連后又形成一個三角形．問圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？

Answer 1

分析：（1）因為“D、E、F分別是△ABC三邊上的中點，”所以△DEF與△ABC相似，相似比是1：2，則它們的面積比就是1：4，所以△DEF的面積=120÷4=30平方厘米；又因為“P點與三個頂點A、B、C連接并形成三個完全相同的三角形”所以P是等邊三角形ABC的中心，則△APC的面積=120÷3=40平方厘米；
（2）觀察圖形不難得出，點P也是△DEF的中心，所以圖中3、4、5部分的面積相等是：30÷3=10平方厘米；則1和2部分的面積相等是（40-10）÷2=15平方厘米；由此即可求出1與3部分的面積之和是10+15=25平方厘米，即陰影部分的面積．

解答：解：因為“D、E、F分別是△ABC三邊上的中點，”
所以△DEF與△ABC相似，相似比是1：2，則它們的面積比就是1：4，
所以△DEF的面積=120÷4=30（平方厘米）；
又因為“P點與三個頂點A、B、C連接并形成三個完全相同的三角形”
所以P是等邊三角形ABC的中心，則△APC的面積=120÷3=40（平方厘米）；
點P也是△DEF的中心，所以圖中3、4、5部分的面積相等是：30÷3=10（平方厘米）；
則1和2部分的面積相等是（40-10）÷2=15（平方厘米）；
則陰影部分的面積是：10+15=25（平方厘米），
答：陰影部分的面積是25平方厘米．

點評：此題考查了三角形的三條中位線圍成的三角形與原三角形相似以及等邊三角形的中心的性質，關鍵是找出圖形中面積相等的幾個部分．