Question

有1，2，3，4，5這五個數字排成一排，最后一個數是奇數，且使得其中任意連續三個數之和都能被這三個數中的第一個數整除，那么滿足要求的排法有

 

種．

Answer 1

考點：數的整除特征

專題：整除性問題

分析：首先設a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，是1、2、3、4、5一個滿足要求的排列，然后根據題意分析它們各位上的奇偶性，即可得a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，由此可求得滿足要求的所有排法．

解答： 解：設a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，是1，2，3，4，5的一個滿足要求的排列，
首先，對于設a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，不能有連續的兩個是偶數，否則，這兩個之和都是偶數，與已知條件矛盾，
又如果，設a₁（1≤i≤3）是偶數，a₁+1是奇數，則a₁+2是奇數，這說明一個偶數后面一定要接著兩個或兩個以上的奇數，除非接的是這個奇數是最后一個數，
所以，設a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5鐘情況滿足條件：
2，1，3，4，5；
2，3，5，4，1；
2，5，1，4，3；
4，3，1，2，5；
4，5，3，2，1．
故答案為：5．

點評：本題考查了整數的奇偶性問題，此題難度較大，解決此題的關鍵是得到a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，只能是：偶，奇，奇，偶，奇；注意分類討論思想的應用．