Question

已知1×2×3×4×5×6×…×n的末尾有連續100個0，那么n最小是多少？

Answer 1

分析：5×2=10，提供一個0，在1、2、3、4、5…n，在這些正整數中以2為約數的數即偶數很多，但是以5為約數的數是有限的，只要提供一個約數5，即可得到一個0，如：5、10、15、20、
25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100、105、110、…含一個約數5的可提供一個0，是一個以5為等差的等差數列，1×2×3×4×5×6×…×n的末尾有連續100個0，100×5=500，假設n=500；其中可提供兩個約數5的則可提供兩個0，如：25=5×5，25×4=100，這樣的數是25的倍數，有：25、50、75、100、125、…是以25為等差的等差數列，到500有500÷25=20，則在500內多提供了20個0；其中可提供三個約數5的則可提供三個0，如125=5×5×5，125×8=1000，這樣的數在500內有125、250、375三個數，又多提供3個0；則可以用500減去（20+3）個可以提供約數5的數字，400到500間提供一個5的約數（500-400）÷5=20，提供2個約數的數：（500-400）÷25=4，提供3個約數5的沒有，所以，在400到500內只要有一個提供約數5的就可以了．那么n最小是405．

解答：解：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100、105、110、…含一個約數5的可提供一個0，是一個以5為等差的等差數列，1×2×3×4×5×6×…×n的末尾有連續100個0，100×5=500，假設n=500；
其中可提供兩個約數5的則可提供兩個0，如：25=5×5，25×4=100，這樣的數是25的倍數，有：25、50、75、100、125、…是以25為等差的等差數列，到500有500÷25=20，則在500內多提供了20個0；
其中可提供三個約數5的則可提供三個0，如125=5×5×5，125×8=1000，這樣的數在500內有125、250、375三個數，又在可提供兩個約數5的基礎上多提供3個0；
則可以用500減去（20+3）個可以提供約數5的數字；
400到500間提供一個5的約數（500-400）÷5=20，提供2個約數的數：（500-400）÷25=4，提供3個約數5的沒有；
所以，在400到500內只要有一個提供約數5的就可以了．那么n最小是405．

點評：此題考查了乘除法中的巧算．