Question

用l、2、3、4、5各一個可以組成120個五位數，你能否從這120個數里面找出11個數來，使得它們除以11的余數互不相同？如果五個數字是1、3、4、6、8呢？

Answer 1

考點：數字問題

專題：整除性問題

分析：我們看能被11整除的數的特征：把一個數由右邊向左邊數，將奇位上的數字與偶位上的數字分別加起來，再求它們的差，如果這個差是11的倍數（包括0），那么，原來這個數就一定能被11整除．這個差是幾，那么余數就是幾．

解答： 解：設一個五位數是

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abcde

，奇位數字之和與偶位數字用A、B來表示，另A＞B，有

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abcde

≡A-B≡k（mod11），其中0≤K≤10．
（1）用1、2、3、4、5組成的一個

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abcde

，數字和為A+B=15，因為A+B與A-B奇偶數相同，那么用1、2、3、4、5不能 組成余數為0的數，所以不能找到使得他們除以11的余數互不相同．
（2）用1、3、4、6、8組成一個

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abcde

，數字和為A+B=22，因為A+B與A-B奇偶相同，那么A-B一定為偶數，那些奇數的余數只能出現在A-B＞11時，當K=9，那么A-B=20不可能出現，所以不能找到使得它們除以11的余數互不相同．

點評：根據余數的性質，除數是11，余數只有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10種余數，不可能在這120個數中找到11個余數不相同的數．