Question

（1）求自然數中所有三位數的和．
（2）求自然數中所有兩位數中的奇數之和．
（3）計算 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99．

Answer 1

分析：（1）自然數中最小的三位數是100，最大的是999，那么所有的三位數是一個公差為1的等差數列：100，101，…，998，999．數列的項數是999-100+1=900，根據高斯求和公式，它們的和是：（100+999）×900÷2=1099×450=494550．
（2）欲求自然數中所有兩位數中的奇數之和，就要先知道，自然數中所有兩位數中的奇數有哪些數，它們是：11，13，15…97，99．這是一個公差為2，項數為（99-11）÷2+1=45的等差數列，則求它們的和得：（11+99）×45÷2=2475．
（3）原式實際上是兩個數列的和，即 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99．可化為：（0.1+0.3+0.5+0.7+0.9）+（0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99）．那么分別計算這兩個數列的和，然后再把所得的和相加即可．

解答：解：（1）自然數中所有三位數是一個公差為1的等差數列：
100，101，…，998，999．
數列的項數是：999-100+1=900，
根據高斯求和公式，它們的和是：
（100+999）×900÷2
=1099×450
=494550．
（2）自然數中所有兩位數中的奇數有：11，13，15…97，99．
這是一個公差為2的等差數列，項數為：（99-11）÷2+1=45
則求它們的和得：
（11+99）×45÷2=2475；
（3）0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99．
=（0.1+0.3+0.5+0.7+0.9）+（0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+…+0.99）
=（0.1+0.9）×5÷2+（0.11+0.99）×[（0.99-0.11）÷0.02+1]÷2
=1×5÷2+1.1×45÷2
=2.5+24.75
=27.25．

點評：本題是一組等差數列求和的題，需要注意的是：前兩項要根據題意確定是要求哪些數的和，然后根據高斯求和公式計算．第三題是一個兩個等差數列的求和，要分別找出各自的公差及項數，分別求和然后把所得的和相加．