Question

已知a，b，c，d都是大于零的自然數，且

5

2012

=

1

a

+

1

b

+

1

c

+

1

d

，若a＜b＜c＜d，求a，b，c，d的值．

Answer 1

分析：先把

5

2012

=

1

a

+

1

b

+

1

c

+

1

d

，變形為

1

2012

=

1

5a

+

1

5b

+

1

5c

+

1

5b

，再把2012分解因數：2012=2×2×503，所以2012的因數有：1、2、4、503、1006、2012六個，任取其中四個的和是5的倍數的數：1+2+4+503=510，然后用

1

2012

分別乘以510為分母，以1、2、4、503為分子的分數的和，然后再乘5，即可得出a，b，c，d的值．

解答：解：

1

2012

=

1

5a

+

1

5b

+

1

5c

+

1

5b

，
2012=2×2×503，所以2012的因數有：1、2、4、503、1006、2012六個，
任取其中四個的和是5的倍數的數：1+2+4+503=510，

1

2012

=

1

2012

×

1+2+4+503

510

=

1

2012

×（

1

510

+

2

510

+

4

510

+

503

510

），
所以

5

2012

=

1

2012

×（

1

510

+

2

510

+

4

510

+

503

510

）×5，
=

1

2012

×（

1

510

×5+

2

510

×5+

4

510

×5+

503

510

×5），
=

1

2012

×

1

102

+

1

2012

×

1

51

+

1

2012

×

1

25.5

+

1

2012

×

503

102

，
=

1

205224

+

1

102612

+

1

51306

+

1

408

，
由于，a＜b＜c＜d，
所以，a=408，b=51306，c=102612，d=205224．

點評：本題關鍵是確定拆分成的分數的分母是5的倍數．