Question

用兩個一樣的直角三角形和一個等腰直角三角形（腰等于前兩個直角三角形的斜邊）可以拼成一個直角梯形．如圖．如果直角三角形的邊長分別是3、4、c或5、12、d、（c、d為斜邊），根據梯形的面積等于3個三角形面積之和，比較三角形的兩條直角邊的平方和與斜邊的平方之間的大小關系，你能發現什么？如果直角三角形的邊長是a、b、c時，（c為斜邊），你又能發現什么？[提示：（a+b）2=a²+2ab+b²]．

Answer 1

考點：三角形面積與底的正比關系

專題：傳統應用題專題

分析：（1）首先根據直角三角形的面積公式，分別求出三個直角三角形的面積，然后根據梯形的面積公式，求出梯形的面積；最后根據三個直角三角形的面積和=梯形的面積，判斷出三角形的兩條直角邊的平方和與斜邊的平方之間的大小關系，進而總結出規律即可；
（2）根據總結出的規律，判斷出直角三角形的邊長是a、b、c時，（c為斜邊），能發現什么關系即可．

解答： 解：（1）當直角三角形的邊長分別是3、4、c時，
三個直角三角形的面積和是：
3×4÷2×2+c×c÷2
=12+

c

2

2
梯形的面積是：
（3+4）×（3+4）÷2
=7×7÷2
=24.5
所以12+

c

2

2=24.5，
解得c²=25=3²+4²；

當直角三角形的邊長分別是5、12、d時，
三個直角三角形的面積和是：
5×12÷2×2+d×d÷2
=60+

d2

2

梯形的面積是：
（5+12）×（5+12）÷2
=17×17÷2
=144.5
所以60+

d2

2

=144.5，
解得d²=169=5²+12²；
綜上，可得三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．

（2）根據三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，
可得直角三角形的邊長是a、b、c時，
c²=a²+b²…①，
根據三角形的面積和=梯形的面積，
可得ab÷2×2+c²÷2=（a+b）×（a+b）÷2…②，
①代入②，可得（a+b）²=a²+2ab+2ab．

點評：解答此題的關鍵是熟練掌握三角形、梯形的面積公式，并注意根據已知的算式，總結出規律，并能正確應用規律．