Question

操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于點Q．探究：設A、P兩點間的距離為x
（1）當點Q在邊CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系？試證明你觀察得到的結論；
（2）當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數解析式，并寫出函數的自變量取值范圍；
（3）當點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應的x的值；如果不可能，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點P作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F，根據正方形的對角線平分一組對角可得AC平分∠BCD，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PE=PF，然后求出∠EPF=90°，根據同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角邊角”證明△BPE和△QPF全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）先求出四邊形PECF是正方形，再根據全等三角形的面積相等得到四邊形PBCQ的面積等于正方形PECF的面積，然后根據正方形的性質表示出PC，再根據正方形的面積等于對角線平方的一半列式整理即可得解；
（3）延長BP交CD于G，根據點Q在DC的延長線上判斷出∠PCQ＞90°，從而得到PC=QC，根據等邊對等角可得∠1=∠2，然后根據同角的余角相等求出∠3=∠5，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠4=∠5，根據等角對等邊的想可得AB=AP，從而得解．

解答：解：（1）結論：PQ=PB．
證明：如圖1，過點P作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
又∵PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，
∴PE=PF，
∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠BCD=90°，
∴∠EPF=90°，
∴∠2+∠EPQ=90°，
又∵∠1+∠EPQ=∠BPQ=90°，
∴∠1=∠2，
∵在△BPE和△QPF中

∠1=∠2 PE= PF ∠PEB= ∠PFQ

∴△BPE≌△QPF（ASA），
∴PB=PQ；

（2）解：∵∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四邊形PECF是矩形，
又∵PE=PF，
∴四邊形PECF是正方形，
∵正方形ABCD，AB=1，
∴AC=

2

，
∵AP=x，
∴PC=

2

-x，
由（1）知△BPE≌△QPF，
∴S_△BPE=S_△QPF，
∴S_{四邊形PBCQ=}S_{正方形PECF}，
∴S_{四邊形PBCQ}=

1

2

PC²=

1

2

（

2

-x）²=

1

2

x²-

2

x+1，
即y=

1

2

x²-

2

x+1，
∵點Q在CD上，
∴PC＞PQ，
∴

2

-x＞

2

2

，
解得x＜

2

2

，
所以，x的取值范圍是0≤x＜

2

2

；

（3）解：如圖2，延長BP交DC于G，
∵點Q在DC的延長線上，
∴∠PCQ＞90°，
∴∴等腰△PCQ中，PC=QC，
∴∠1=∠2，
∵∠BPQ=90°，
∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠5=∠3，
在正方形ABCD中，AB∥DC，
∴∠4=∠5，
∴∠4=∠3，
∴AP=AB，
∴x=1．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，正方形的問題，往往通過作輔助線構造出全等三角形求解．