Question

一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖1-3-9(1)、(2)所示.那么哪位同學的加工方法符合要求？說說你的理由(加工損耗忽略不計，計算結果中的分數可保留).

             

(1)                                   (2)

圖1-3-9

Answer 1

思路分析：兩個圖形中均有相似三角形，圖(1)中，即，可得正方形的邊長，圖(2)中可運用相似比等于對應高的比列出等式，進而求出正方形的邊長.

解：

由AB=1.5米，S_△ABC=1.5平方米，得BC=2米.

如圖1-3-9(1)，若設甲加工的桌面邊長為x米，由DE∥AB，推出Rt△CDE∽Rt△CBA，可求出x=米.

如圖1-3-9(2)，過點B作Rt△ABC斜邊上的高BH，交DE于P，交AC于H.

由AB=1.5米，BC=2米，S_△ABC=1.5平方米，得AC=2.5米，BH=1.2米.

設乙加工的桌面邊長為y米，

∵DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC.

∴,即.解之，得y=,即x＞y,x²＞y²,

∴甲同學的加工方法符合要求.

    深化升華 在三角形中有平行于一邊的直線時，通常考慮三角形相似，利用比值獲得線段的長或三角形的面積.