Question

包含0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個數(shù)字的十位數(shù)稱為“十全數(shù)”，如果某個“十全數(shù)”同時滿足下列要求：
（1）它能分別被1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12整除；
（2）它與2004的和能被13整除；
那么這樣的“十全數(shù)”中最小的是

 

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Answer 1

分析：首先，0+1+2+…+8+9=45，故任意十個數(shù)字的排列均可被3和9整除；其次，此數(shù)要能被2和5、10整除，故末位必須是0；由于要求此數(shù)最小，故小的數(shù)字放前面，大的數(shù)字盡量放后面，假定前4位數(shù)為1234；又此數(shù)能被8整除，故倒數(shù)第二位數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，且盡量大，取8；同理，倒數(shù)第三位數(shù)取6；因此，此數(shù)形式為1234…680，滿足該形式的數(shù)一定能被1、2、3、4、5、6、8和9整除；現(xiàn)在把5、7、9三個數(shù)字填入空位，使其能被7整除，且最小即可，然后檢驗?zāi)芊癖?1、12整除，解決問題．

解答：解：1、因為0+1+2+…+8+9=45，故任意十個數(shù)字的排列均可被3和9整除；
2、其次，此數(shù)要能被2和5、10整除，故末位必須是0；
3、由于要求此數(shù)最小，故小的數(shù)字放前面，大的數(shù)字盡量放后面，假定前4位數(shù)為1234；
4、又此數(shù)能被8整除，故倒數(shù)第二位數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，且盡量大，取8；同理，倒數(shù)第三位數(shù)取6；
綜上所述，此數(shù)形式為1234…680，滿足該形式的數(shù)一定能被1、2、3、4、5、6、8和9；
現(xiàn)在把5、7、9三個數(shù)字填入空位，使其能被7整除，且最小即可，通過檢驗，1234759680能被11、12整除．
因此這樣的“十全數(shù)”中最小的是1234759680．
故答案為：1234759680．

點評：此題運用了整除知識以及數(shù)論綜合解決問題．