Question

如圖，在正方形ABCD中，點E是BC上的一定點，且BE=5，EC=7．點P是BD上一動點，則PE+PC的最小值是

13

．

Answer 1

分析：如下圖所示，BE'=BE=5，E'是E關于BD的對稱點，E'C交BD與P，PE'=PE，此時PE+PC=PE'+PC=E'C最小，因為兩點之間線段最短．

解答：解：在BA上找一點E'使BE'=BE=5，則在等腰直角三角形E'BE中BD是頂角的角平分線，底邊E'E的垂直平分線，所以E'是E的關于BD的對稱點，PE=PE'，PE+PC=PE'+PC=E'C，兩點之間線段最短，所以此時PE+PC最小．
在直角△E'BC中，根據直角三角形兩直角邊的平方和會等于斜邊的平方，E'C²=BE'²+BC²，
5×5+12×12
=25+144
=169；
因為，13×13=169，
所以E'C=13；
答：則PE+PC的最小值是 13．
故答案為：13．

點評：此題考查了最大和最小，找到E的對稱點，利用兩點之間線段最短，或在三角形中，兩邊之和大于第三邊，都可以解決此問題．