Question

在平面內，旋轉變換試指某一個圖形繞一個定點按順時針或逆時針旋轉一定的角度而得到新位置圖形的一種變換．

活動一：如圖①，在Rt△ABC中，D為斜邊AB上的一點，AD=2，BD=1，且四邊形DECF是正方形，在求陰影部分面積時，小明運用圖形旋轉的方法，將△DBF繞點D逆時針旋轉90°，得到△DGE（如圖②所示），小明一眼就看到答案，請你寫出陰影部分的面積______．
活動二：如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，小明仍運用圖形旋轉的方法，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°，得到△ADG（如圖④所示），則：
（1）四邊形AECG是怎樣的特殊四邊形？答：______；
（2）AE的長是______．
活動三：如圖⑤，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，將BC繞點B逆時針旋轉90°得到線段BE，連接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面積．

Answer 1

解：活動一：
因為四邊形DECF是正方形，
所以DE=DF=x，DE∥BC，DF∥AC，
所以=，=，
因為AD=2，BD=1，
所以AC=3x，BC=x，
因為AC²+BC²=AB²，
所以9x²+（x）²=9，
解得：x=，
所以DE=DF=，AE=，BF=，
所以S_△ADE+S_△BDF=1，
所以S_陰影=1；
故答案為：1；

活動二：根據題意得：∠EAG=90°，
因為AE⊥BC，
所以∠AEB=∠AEC=∠G=90°，
所以四邊形AECG是矩形，
因為AE=AG，
所以四邊形AECG是正方形，
因為BC=5，CD=3，
所以設AE=x，則BE=GD=CG-CD=x-3，
BE=BC-EC=5-x，
所以x-3=5-x，
解得：x=4，
所以AE=4．
故答案為：正方形；4．

活動三：過點B作BG⊥DC于點G，過點E作EF⊥AB與AB的延長線交于點F．
因為∠BAD=∠D=∠DGB=90°，
所以四邊形ABGD是矩形，
所以DG=AB=2，
所以CG=DC-DG=4-2=2．
因為∠CBG+∠CBF=90°，∠EBF+∠CBF=90°，
所以∠CBG=∠EBF．
在△BCG與△BEF中，∠CBG=∠EBF，∠CGB=∠EFB=90°，BC=BE，
所以△BCG≌△BEF，
所以CG=EF=2．
所以S_△ABE=AB?EF=2．
分析：（1）根據旋轉的性質可知△DBF≌△DGE，則DG=BD=1，那么陰影部分的面積=Rt△ADG的面積=×AD×DG；
（2）根據旋轉的性質可知△ABE≌△ADG，得出∠AEB=∠G=90°，BE=DG，AE=AD．在四邊形AECD中，有∠AEC=∠C=∠G=90°，則四邊形AECD是矩形，又AE=AD，則矩形AECD是正方形；設BE=x，則DG=x，EC=CG=DG+CD=x+3，BC=BE+EC=x+x+3=5，求出x，進而得出AE的長；
（3）過點B作BG⊥DC于點G，過點E作EF⊥AB與AB的延長線交于點F，通過證明△BCG≌△BEF，從而得出S_△ABE的值．
點評：本題主要考查了旋轉變換及其性質．在解題中進行旋轉變換的目的在于通過旋轉變換可以使圖形發生重組，使分散的條件得以集中，然后運用旋轉的“不變性”可以使一些問題迎刃而解．一般來說，當圖形中有“共點等邊”的圖形時，常進行旋轉變換．