Question

一列數1，1，2，3，5，8，13，21…從第三項開始每一項是前兩項的和，此數列的第2000項除以8的余數是多少？

Answer 1

分析：數列的規律是：從第三項開始，每一項是前兩項的和，因此由余數的性質：兩數的和除以A的余數等于這兩數分別除以A的余數的和再除以A的余數．可以寫出余數的規律是：1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，2，3，…它的循環周期是：1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，即12個數一個周期，由此用2000除以8看余數對應的循環周期中的第幾個數即可．

解答：解：因為此數列除以8的余數的規律是：1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，2，3，…它的循環周期是：1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0；
2000÷12=166…8，
在循環數中第8個數對應的是5，
因此第2000項除以8的余數是5；
答：此數列的第2000項除以8的余數是5．

點評：解答此題的關鍵是，根據兩數的和除以A的余數等于這兩數分別除以A的余數的和再除以A的余數，得出此數列除以8的余數的循環周期，由此得出答案．