Question

某學校的若干學生在一次數學考試中所得分數之和是8250分．第一、二、三名的成績是88、85、80分，得分最低的是30分，得同樣分的學生不超過3人，每個學生的分數都是自然數．問：至少有幾個學生的得分不低于60分？

Answer 1

分析：根據題意可知，除得分88、85、80的人之外，其他人的得分都在30至79分之間，其他人共得分：8250-（88+85+80）=7997（分）；為使不低于60分的人數盡量少，就要使低于60分的人數盡量多，即得分在30～59分中的人數盡量多，在這些分數上最多有 3×（30+31+…+59）=4005分（總分），因此，得 60～79分的人至多總共得7997-4005=3992分；如果得60分至79分的有60人，共占分數 3×（60+61+…+79）=4170，比這些人至多得分7997-4005=3992分還多178分，所以要從不低于60分的人中去掉盡量多的人．但顯然最多只能去掉兩個不低于60分的（另加一個低于60分的，例如，178=60+60+58）．因此，加上前三名，不低于60分的人數至少為61人．

解答：解：除得分88、85、80的人之外，其他人的得分都在30至79分之間，其他人共得分：
8250-（88+85+80），
=8250-253，
=7997（分）；
為使不低于60分的人數盡量少，就要使低于60分的人數盡量多，即得分在30～59分中的人數盡量多，在這些分數上最多有：
3×（30+31+…+59），
=3×1335，
=4005（分），
因此，得 60～79分的人至多總共得7997-4005=3992（分）；
如果得60分至79分的有60人，共占分數：
3×（60+61+…+79），
=3×1390，
=4170（分），
比這些人至多得分7997-4005=3992（分）還多178分，所以要從不低于60分的人中去掉盡量多的人．
但顯然最多只能去掉兩個不低于60分的（另加一個低于60分的，例如，178=60+60+58）．
因此，加上前三名，不低于60分的人數至少為61人．
答：至少有61個學生的得分不低于60分．

點評：此題的關鍵是先算出30至79分之間的總分數，然后為使不低于60分的人數盡量少，就要使低于60分的人數盡量多，從而找出得 60～79分的人的總和，最后要從不低于60分的人中去掉盡量多的人，然后再加上前三名，從而確定不低于60分的人數．