【題目】如圖,已知拋物線y=x2+mx+n與x軸相交于點A、B兩點,過點B的直線y=x+b交拋物線于另一點C(-5,6),點D是線段BC上的一個動點(點D與點B、C不重合),作DE∥AC,交該拋物線于點E,
(1)求m,n,b的值;
(2)求tan∠ACB;
(3)探究在點D運動過程中,是否存在∠DEA=45°,若存在,則求此時線段AE的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)m=1,n=;(2)
;(3)
【解析】分析:(1)由點C的坐標利用待定系數法即可求出一次函數解析式中的常數項b,再令一次函數解析式中y=0求出x值,由此可得出點B的坐標,由點B、C的坐標利用待定系數法即可求出二次函數解析式中的系數m、n;
(2)過點C作CF⊥x軸于點F,過點A作AG⊥BC于點G,由二次函數解析式可求出交點A、B的坐標,由點B、C、A點的坐標,可找出線段CF、BF、AF、BA的長,通過解直角三角形即可找出BG、AG、BC的長,再根據正切的計算公式即可得出結論;
(3)假設存在,連接AE,過點E作EM⊥x軸于點M,通過角的計算得出∠BAE=∠BDE=∠BCA,設出點E的坐標,根據(2)的結論tan∠ACB=,即可得出關于t的一元二次方程,解方程即可得出結論.
詳解:(1)∵直線y=x+b經過點C(5,6) ∴b=1
∵B在x軸上,且在直線y=x+b上 ∴B(1,0)
∵拋物線y=x2+mx+n過B(1,0)、C(5,6)
∴ m=1,n=
(2)作CF⊥x軸于F,作AG⊥BC于G
∴F(5,0)
∵拋物線y=x2+mx+n與x軸交于A、B
∴A(3,0) B(1,0)∴CF=BF=6,AF=2,AB=4∴∠CBF=45°,BC=6,
∴BG=AG=2 ∴CG=4
∴tan∠ACB=
(3) ∵DE∥AC ∴∠BDE=∠BCA∵∠DEA=45° ∠DBA=45°
∴∠BAE=∠BDE=∠BCA
∴tan∠BAE=
設E(t, t2+t
) ∴tan∠BAE=
=
∴t=0 ∴E(0, ) ∴AE=
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°,C是弦AB上任意一點(不與點A、B重合),連接CO并延長CO交⊙O于點D,連接AD.
(1)AB=_____;
(2)當∠D=20°時,求∠BOD的度數.
(3)若△ACD與△BCO相似,求AC的長.
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【題目】如圖,半徑為6cm 的⊙O中,C,D為直徑AB 的三等分點,點E,F分別在AB兩側的半圓上,∠BCE =∠BDF = 60°,連結AE,BF.則圖中兩個陰影部分的面積和為 cm2.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,過對角線BD中點O的直線分別交AB,CD邊于點E,F.
(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)當四邊形BEDF是菱形時,求EF的長.
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【題目】如圖,正方形中,
,點
在邊
上,且
.將
沿
對折至
,延長
交邊
于點
.連結
、
.下列結論:①
;②
;③
是正三角形;④
的面積為90.其中正確的是______(填所有正確答案的序號).
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【題目】如圖,正方形ABCD中,點E,F分別在BC,CD上,三角形AEF是等邊三角形,連接AC交EF于G,下列結論:①BE=DF,②AG=2GC,③BE+DF=EF,④S△CEF=2S△ABE正確的有_____(只填序號).
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【題目】如圖,中,
,
,
是
上一點,且
,過點
分別作
,
,垂足分別是
,下列結論:①
;②
是
的中點;③
垂直平分
;④
;其中正確的個數為( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】如圖,已知△ABC ,分別以AB 、AC 為邊在△ABC 的外部作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE聯結DC 、BE 試說明DCBE的理由.
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【題目】將連續的偶數2,4,6,8,…,如圖所示排列:
(1)求圖中十字框內5個數的和與中間的數16的倍數關系.
(2)若將十字框上下左右移動,可框住另外的五個數,請說明這五個數的和與十字框最中間的數之間存在的關系.
(3)若將十字框上下左右移動,框住的五個數的和能等于2019嗎?若能,請寫出這五個數;若不能,請說明理由.
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