Question

有甲、乙、丙、丁四個人，各對某個兩位整數的性質用兩句話表述：
甲：“用2除余1”，“用3除余2”．
乙：“用4除余3”，“用5除余4”．
丙：“用6除余5”，“用7除余6”．
丁：“用8除余7”，“用9除余8”．
已知四人中每個人都只說對了一句話，而另一句話是錯的．請問這個兩位整數是幾？

Answer 1

將甲的第一句話用甲-①，第二句話用甲-②表示．
（1）先假設甲-①是錯的．
如果甲-①是錯的，乙-①所說的整數用4除余3，如果用2除會怎樣呢？
用4除余3的整數，也可以說成是4的倍數加上余數3 的整數．4是2的倍數，那么能被4整除的數也一定能被2整除，余數是3，3被2除余1．
因此甲-①，乙-①所說的內容相同，既他們說的都是錯的．用同樣的思考方法可以說明丙-①和丁-①也都是錯的．這時可以肯定甲-②、
乙-②、丙-②、丁-②、是正確的．
從各句話的除數與余數的關系來看，所有話中的余數都是除數減1，因此滿足甲-②、乙-②、丙-②、丁-②條件的整數應該是3、5、7、9的公倍數減1的整數，而這樣的整數最小的是314，不符合題目要求．
（2）假設甲-②是錯誤的，根據（1）的思路可知，丙-①、丁-②也是錯誤的，
因為丁-②是錯的，則丁-①是正確的，
即甲-①，乙-①，丙-②，丁-①都是正確的，
則符合條件的是2、4、7、8的公倍數減1的整數，
經驗證，這個數是56-1=55．
所以這個兩位整數是55．