Question

如果a、b、c 是3個整數，則它們滿足加法交換律和結合律，即
（1）a+b=b+a；
（2）（a+b）+c=a+（b+c ）．
現在規定一種運算“*“，它對于整數 a、b、c、d 滿足：
（a，b）*（c，d）=（a×c+b×d，a×c-b×d）．
例：（4，3）*（7，5）=（4×7+3×5，4×7-3×5）=（43，13）
請你舉例說明，“*“運算是否滿足交換律、結合律．

Answer 1

分析：任意用一個字母表示一個數，分別探討即可，當兩個數組時，（A，B）*（C，D）=（AC+BD，AC-BD），而（C，D）*（A，B）=（CA+BD，CA-BD），因此兩個數組時滿足交換律；又因為（A，B）*[（C，D）*（E，F）]=（A，B）*（CE+DF，CE-DF）=（ACE+ADF+BCE-BDF，ACE+ADF-BCE+BDF），與（A，B）*（C，D）*（E，F）不等，所以不滿足結合律．

解答：解：兩個數組的時候，（A，B）*（C，D）=（AC+BD，AC-BD）（省略乘號，下同）
而（C，D）*（A，B）=（CA+BD，CA-BD），因此兩個數組時滿足交換律；
但如果涉及3個數組時，
因為（A，B）*（C，D）*（E，F）=（AC+BD，AC-BD）*（E，F）=（ACE+BDE+ACF-BDF，ACE+BDE-ACF+BDF），
且 （A，B）*（E，F）*（C，D）=（AE+BF，AE-BF）*（C，D）=（ACE+BCF+ADE-BDF，ACE+BCF-ADE+BDF），
兩者不相等，所以不滿足交換律；
又因為（A，B）*[（C，D）*（E，F）]=（A，B）*（CE+DF，CE-DF）=（ACE+ADF+BCE-BDF，ACE+ADF-BCE+BDF），
與（A，B）*（C，D）*（E，F）不等，所以不滿足結合律．
故答案為：滿足交換律，不滿足結合律．

點評：觀察題干，分析給定的程序，再通過舉與該程序相同的例子證明問題即可．