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數學課上，張老師用六根長度均為a的塑料棒搭成了一個正三棱錐（如圖所示），然后他將其中的兩根換成長度分別為在

2

a和

3

a的塑料棒、又搭成了一個三棱錐，陳成同學邊聽課邊動手操作，也將其中的兩根換掉，但沒有成功，不能搭成三棱錐，如果兩人都將BD換成了長為

3

a的塑料棒．
（1）試問張老師換掉的另一根塑料棒是什么，而陳成同學換掉的另一根塑料棒又是什么？請你用學到的數學知識解釋陳成同學失敗的原因；
（2）試證：平面ABD⊥平面CBD；
（3）求新三棱錐的外接球的表面積．

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題號

答案

1.解析：命題“”的否命題是：“”，故選C．

2.解析：由已知，得：，故選．

3.解析：若，則，解得．故選．

4.解析：由題意得，又．

故選．

5.解析：設成績為環的人數是，由平均數的概念，得：．

故選．

6.解析：是偶函數；是指數函數；是對數函數．故選．

7.解析：①的三視圖均為正方形；②的三視圖中正視圖．側視圖為相同的等腰三角形，俯視圖為圓；④的三視圖中正視圖．側視圖為相同的等腰三角形，俯視圖為正方形．故選．

8.解析：程序的運行結果是，選．

9.解析：的圖象先向左平移，橫坐標變為原來的倍．答案：．

10.解析：特殊值法：令，有．故選．

題號

11

12

13

14

15

答案

11.解析：．

12.解析：令，則，令，則，

同理得即當時，的值以為周期，

所以．

13.解析：由圖象知：當函數的圖象過點時，

取得最大值為2．

14. (坐標系與參數方程選做題)解析：將極坐標方程轉化成直角坐標方程，圓上的動點到直線的距離的最大值就是圓心到直線的距離再加上半徑．故填．

15. (幾何證明選講選做題)解析：連結，

則在和中：，

且，所以，

故．

三．解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．

16.析：主要考察三角形中的邊角關系、向量的坐標運算、二次函數的最值．

解：(Ⅰ)∵，∴，     ………………3分

又∵，∴．    ……………………………………………5分

（Ⅱ）　　 ……………………………………………6分

，  ………………………8分

∵，∴．　　 ……………10分

∴當時，取得最小值為．   …………12分

17．析：主要考察立體幾何中的位置關系、體積．

解：(Ⅰ)證明：連結，則//，   …………1分

∵是正方形，∴．∵面，∴．

又，∴面．    ………………4分

∵面，∴，

∴．  …………………………………………5分

（Ⅱ）證明：作的中點F，連結．

∵是的中點，∴，

∴四邊形是平行四邊形，∴ ． ………7分

∵是的中點，∴，

又，∴．

∴四邊形是平行四邊形，//，

∵，，

∴平面面．  …………………………………9分

又平面，∴面．  ………………10分

（3）．　……………………………11分

．  ……………………………14分

18．析：主要考察事件的運算、古典概型．

解：設“朋友乘火車、輪船、汽車、飛機來”分別為事件，則，，，，且事件之間是互斥的．

(Ⅰ)他乘火車或飛機來的概率為………4分

(Ⅱ)他乘輪船來的概率是，

所以他不乘輪船來的概率為． ………………8分　

（Ⅲ)由于，

所以他可能是乘飛機來也可能是乘火車或汽車來的． …………………12分　

19.析：主要考察函數的圖象與性質，導數的應用．

解：(Ⅰ)由函數的圖象關于原點對稱，得，………………1分

∴，∴．　…………2分

∴，∴．　……………………………4分

∴，即．　　……………………6分

∴． ……………………………………………………7分

 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，∴．

由 ，∴．　　　…………………9分

0

+

0

ㄋ

極小

ㄊ

極大

ㄋ

∴．　 ………………………14分

20．析：主要考察直線．圓的方程，直線與圓的位置關系．

解：(Ⅰ)（法一）∵點在圓上，    …………………………2分

∴直線的方程為，即．   ……………………………5分

（法二）當直線垂直軸時，不符合題意．     ……………………………2分

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，即．

則圓心到直線的距離，即：，解得，……4分

∴直線的方程為．    ……………………………………………5分

（Ⅱ）設圓：，∵圓過原點，∴．

∴圓的方程為．…………………………7分

∵圓被直線截得的弦長為，∴圓心到直線：的距離：

．   …………………………………………9分

整理得：，解得或． ……………………………10分

∵，∴．   …………………………………………………………13分

∴圓：．  ……………………………………14分

21．析：主要考察等差、等比數列的定義、式，求數列的和的方法．

解：(Ⅰ)設的公差為，則：，，

∵，，∴，∴．　………………………2分

∴．  …………………………………………4分

（Ⅱ）當時，，由，得．     …………………5分

當時，，，

∴，即．　 …………………………7分

  ∴．　　　……………………………………………………………8分

∴是以為首項，為公比的等比數列．　…………………………………9分

（Ⅲ）由（2）可知：． 　 ……………………………10分

∴．　…………………………………11分

∴．

∴．

∴

．    ………………………………………13分

∴．　　…………………………………………………14分