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20090520

由余弦定理，得，所以，      ……10分

解方程組，得 ．                       ……12分

18．解：記 “過第一關”為事件A,“第一關第一次過關”為事件A₁，“第一關第二次過關”為事件A₂；“過第二關”為事件B, “第二關第一次過關”為事件B₁，“第二關第二次過關”為事件B₂；

（Ⅰ）該同學獲得900元獎金，即該同學順利通過第一關，但未通過第二關，則所求概率為

．              ……………………………３分

（Ⅱ）該同學通過第一關的概率為：

， ……………………5分

該同學通過第一、二關的概率為：

，   ………………………７分

 ∴ 在該同學已順利通過第一關的條件下，他獲3600元獎金的概率是

．     ………………………………………………………8分

（Ⅲ）該同學獲得獎金額可能取值為：0 元，900 元， 3600 元．………9分

 ，  ……………………………10分    

， 

，         

（另解：＝1－－＝ ）

       ∴　 ． ……12分

19．（本題滿分12分）

解: （Ⅰ）當為中點時,有∥平面_．…１分

證明:連結連結，

∵四邊形是矩形  ∴為中點

∵∥平面_，

_且平面,平面

∴∥_，------------------４分

∴為的中點．------------------５分

（Ⅱ）建立空間直角坐標系如圖所示,

則,,,

, ------------7分

所以

設為平面的法向量,

則有,

即

令,可得平面的一個

法向量為,　　　　　　　　　　　　　　----------------9分

而平面的法向量為，    ---------------------------10分

所以，

所以二面角的余弦值為----------------------------12分

20．（Ⅰ）設橢圓C的方程為，

則由題意知．

∴

∴．

∴橢圓C的方程為      ……………………4分

（Ⅱ）假設右焦點可以為的垂心，

，∴直線的斜率為，

從而直線的斜率為1．設其方程為， …………………………………５分

聯立方程組，

整理可得：　  ……………6分．

       ，∴

設，則，

．……………7分

       于是

解之得或．    ……………10分

當時，點即為直線與橢圓的交點，不合題意；

當時，經檢驗知和橢圓相交，符合題意．

所以，當且僅當直線的方程為時,

點是的垂心．…………12分  

21．解：（Ⅰ）的導數

令，解得；令，

解得．………………………2分

從而在內單調遞減，在內單調遞增．

所以，當時，取得最小值．……………………………5分

（II）因為不等式的解集為P，且，

所以，對任意的，不等式恒成立，……………………………6分

由，得

當時，上述不等式顯然成立，故只需考慮的情況。………………7分

將變形為  ………………………………………………8分

令，則

       令，解得；令，

解得．…………………………10分

       從而在內單調遞減，在內單調遞增．

所以，當時，

取得最小值，從而，

所求實數的取值范圍是．………………12分

22．解：（Ⅰ）當時，　　　　

∴

　　（Ⅱ）在中，

　　在中，，

當時，中第項是，

而中的第項是，

所以中第項與中的第項相等．

當時，中第項是，

而中的第項是，

所以中第項與中的第項相等．

　　∴　．

（Ⅲ）

+

．

當且僅當或，等號成立．

∴當或時，最小．