如圖1所示，一張半圓形紙片，直徑AB=10，點C是半圓上的一個動點．沿半徑CO把這張紙片剪出△AC₁O₁和△BC₂O₂兩個三角形（如圖2所示）．將紙片△AC₁O₁沿直線O₂B（AB）方向平移（點A，O₁，O₂，B始終在同一直線上），當點O₁與點B重合時，停止平移．在平移過程中，C₁O₁與BC₂交于點E，AC₁與C₂O₂，BC₂分別交于點F、P．
（1）當△AC₁O₁平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的O₁E與O₂F的數量關系，并證明你的猜想；
（2）若∠CAB=30°，設平移距離O₁O₂為x，△AC₁O₁與△BC₂O₂重疊部分面積為y，請寫出y與x的函數關系式，以及自變量的取值范圍；
（3）對于（2）中的結論是否存在這樣的x的值，使重疊部分的面積等于原△ABC面積的

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．若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．