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在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜邊AB上的高，點E在斜邊AB上，過點E作直線與△ABC的直角邊相交于點F，設AE＝x，△AEF的面積為y．

（1）求線段AD的長；

（2）若EF⊥AB，當點E在線段AB上移動時，

①求y與x的函數關系式（寫出自變量x的取值范圍）

②當x取何值時，y有最大值？并求其最大值；

（3）若F在直角邊AC上（點F與A、C兩點均不重合），點E在斜邊AB上移動，試問：是否存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請說明理由．

在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜邊AB上的高，點E在斜邊AB上，過點E作直線與△ABC的直角邊相交于點F，設AE＝x，△AEF的面積為y．
（1）求線段AD的長；
（2）若EF⊥AB，當點E在線段AB上移動時，
①求y與x的函數關系式（寫出自變量x的取值范圍）
②當x取何值時，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角邊AC上（點F與A、C兩點均不重合），點E在斜邊AB上移動，試問：是否存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請說明理由．