Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜邊AB上的高，點E在斜邊AB上，過點E作直線與△ABC的直角邊相交于點F，設AE=x，△AEF的面積為y．
（1）求線段AD的長；
（2）若EF⊥AB，當點E在線段AB上移動時，
①求y與x的函數關系式（寫出自變量x的取值范圍）
②當x取何值時，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角邊AC上（點F與A、C兩點均不重合），點E在斜邊AB上移動，試問：是否存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據勾股定理求出AB的長，再根據Rt△ADC∽Rt△ACB，利用其相似比即可求出AD的長；
（2）①分別根據x的取值范圍及三角形的面積公式分類可得x、y的函數關系式；
②根據①中所求的函數關系式求出其最值即可．
（3）先求得△ABC的面積的

1

2

，進而得到△AEF得到面積的函數關系式，讓它等于3列式即可求解．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠ACB，
又∠CAD=∠CAD，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

AD

3

=

3

5

，AD=

9

5

．

（2）①由于E的位置不能確定，故應分兩種情況討論：
如圖A：當0＜x≤AD，即0＜x≤

9

5

時，
∵EF⊥AB，
∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即

AE

AC

=

EF

BC

，
∵AC=3，BC=4，AE=x，
∴

x

3

=

EF

4

，EF=

4

3

x，
S_△AEF=y=

1

2

AE•EF=

1

2

x•

4

3

x=

2

3

x²．
如圖B：當AD＜x≤AB，即

9

5

＜x≤5時，
∵EF⊥AB，
∴Rt△BEF∽Rt△BCA，
∴

EB

BC

=

EF

AC

，
∵AE=x，△AEF的面積為y，

5-x

4

=

EF

3

，
∴EF=

15-3x

4

，
y=

1

2

×AE×EF=

1

2

x•

15-3x

4

=

15x

8

-

3x2

8

．
②當如圖A：當0＜x≤AD，即0＜x≤

9

5

時，
S_△AEF=y=

1

2

AE•EF=

1

2

x•

4

3

x=

2

3

x²，當x=AD，即x=

9

5

時，y_最大=

2

3

×（

9

5

）²=

54

25

．
如圖B：當AD＜x≤BD，即

9

5

＜x≤5時，
y=

1

2

x×

3

4

（5-x）=

15x

8

-

3x2

8

，y_最大=

75

32

，此時x=2.5＜5，故成立．
故y_最大=

75

32

．

（3）存在．
假設存在，當0＜x≤5時，AF=6-x，∴0＜6-x＜3，
∴3＜x＜6，
∴3＜x≤5，
作FG⊥AB于點G，
由△AFG∽△ACD，
∴

AF

AC

=

FG

CD

，
∴

6-x

3

=

FG

12 5

，
即FG=

4

5

（6-x），
∴S_△AEF=

1

2

x•

4

5

（6-x）=-

2

5

x²+

12

5

x，
∴3=-

2

5

x²+

12

5

x，
解得：x₁=

6+ 6

2

，x₂=

6- 6

2

，
∵3＜x≤5，
∴x₁=

6+ 6

2

（符合題意），x₂=

6- 6

2

（不合題意，應舍去），
故存在x，直線EF將△ABC的周長和面積同時平分，此時x=

6+ 6

2

．

點評：此題比較復雜，是典型的動點問題，涉及面較廣，涉及到勾股定理、二次函數的最值及相似三角形的有關知識，綜合性較強．