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已知曲線C_n：y=nx²，點P_n（x_n，y_n）（x_n>0，y_n>0）是曲線C_n上的點（n=l，2，…）。
（I）試寫出曲線C_n在點P_n處的切線l_n的方程，并求出l_n與y軸的交點Q_n的坐標；
（Ⅱ）若原點O（0，0）到l_n的距離與線段P_nQ_n的長度之比取得最大值，試求點P_n的坐標（x_n，y_n）； （Ⅲ）設m與k為兩個給定的不同的正整數，x_n與y_n是滿足（Ⅱ）中條件的點P_n的坐標，
證明：（s=1，2，…）。

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如圖，雙曲線C₁：

x2

4

-

y2

b2

=1與橢圓C₂：

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的左、右頂點分別為A₁、A₂第一象限內的點P在雙曲線C₁上，線段OP與橢圓C₂交于點A，O為坐標原點．
（I）求證：

kAA1+kAA2

kPA1+kPA2

為定值（其中kAA1表示直線AA₁的斜率，kAA2等意義類似）；
（II）證明：△OAA₂與△OA₂P不相似．
（III）設滿足{（x，y）|

x2

4

-

y2

m2

=1，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|

x2

4

-

y2

3

＞1，x∈R，y∈R} 的正數m的最大值是b，求b的值．

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一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D

D

A

B

D

B

C

B

C

D

B

1．提示：所以，故選C。

2．提示：命題P：，所以命題P是假命題，

命題Q

當時，。 ，所以以命題Q是真命題，故選D。故選A。

3．提示：又，所以，故選D。

4．提示：在AB上取點D，使得，則點P只能在AD內運動，則，

5．提示：故選B。

6．提示：由圖（1）改為圖（2）后每次循環時的值都為1，因此運行過程出現無限循環，故選D

7．提示：設全班40個人的總分為S，

則，故選B。

8．提示：

所以約束條件為表示的平面區域是以點O（0，0），，N（0，1），Q（2，3）為頂點的平行四邊形（包括邊界），故當時，的最大值是4，故選C。

9．提示：由及得

如圖

過A作于M,則

 得.

故選B.

10．提示：不妨設點（2，0）與曲線上不同的三的點距離為分別，它們組成的等比數列的公比為若令，顯然，又所以，不能取到。故選B。

11．提示：使用特值法：取集合當可以排除A、B；

取集合，當可以排除C；故選D；

12．提示：n棱柱有個頂點，被平面截去一個三棱錐后，可以分以下6種情形（圖1~6）

在圖4，圖6所示的情形，還剩個頂點；

在圖5的情形，還剩個頂點；

在圖2，圖3的情形，還剩個頂點；

在圖1的情形，還剩下個頂點.故選B.

二、填空題：

13．   

提示：由

14． 

提示：斜率 ，切點，所以切線方程為：

15．

提示：當時，不等式無解，當時，不等式變為 ，

由題意得或，所以，或

16．

三、解答題：

17．解：① ∵∴的定義域為R；

② ∵，

 ∴為偶函數；

③ ∵,  ∴是周期為的周期函數；

④ 當時，= ，

∴當時單調遞減；當時，

=，

單調遞增；又∵是周期為的偶函數，∴在上單調遞增，在上單調遞減（）；

⑤ ∵當時；

當時．∴的值域為；

 ⑥由以上性質可得：在上的圖象如圖所示：

18．解：（Ⅰ）取PC的中點G，連結EG，GD，則

由（Ⅰ）知FD⊥平面PDC，面PDC，所以FD⊥DG。

所以四邊形FEGD為矩形，因為G為等腰Rt△RPD斜邊PC的中點，

所以DG⊥PC，

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