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已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中點，點P是BC邊上的動點（不與點B重合），EP與BD相交于點O．
（1）當P點在BC邊上運動時，求證：△BOP∽△DOE；
（2）設（1）中的相似比為k，若AD：BC=2：3，請探究：
①當四邊形ABPE是平行四邊形時，k=；
②當四邊形ABPE是直角梯形時，k=；
③當四邊形ABPE是等腰梯形時，k=；給出③的求解過程．

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中點，點P是BC邊上的動點（不與點B重合），EP與BD相交于點O．
（1）當P點在BC邊上運動時，求證：△BOP∽△DOE；
（2）設（1）中的相似比為k，若AD：BC=2：3，請探究：
①當四邊形ABPE是平行四邊形時，k=______；
②當四邊形ABPE是直角梯形時，k=______；
③當四邊形ABPE是等腰梯形時，k=______；給出③的求解過程．

如圖，在中，，，，另有一等腰梯形（）的底邊與重合，兩腰分別落在上，且分別是的中點．

（1）求等腰梯形的面積；

（2）操作：固定，將等腰梯形以每秒1個單位的速度沿方向向右運動，直到點與點重合時停止．設運動時間為秒，運動后的等腰梯形為（如圖）．

探究1：在運動過程中，四邊形能否是菱形？若能，請求出此時的值；若不能，請說明理由．

探究2：設在運動過程中與等腰梯形重疊部分的面積為，求與的函數關系式．

如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4，另有一等腰梯形DEFG(GF∥DE)的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB、AC上，且G、F分別是AB、AC的中點．

1.填空：GF的長度為________，等腰梯形DEFG的面積為________．

2.操作：固定△ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1個單位的速度沿BC方向向右運動，直到點D與點C重合時停止．設運動時間為x秒，運動后的等腰梯形為DEF’G’(如圖2)探究：在運動過程中，四邊形BDG’G能否為菱形？若能，請求出此時x的值；若不能，請說明理由．