Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中點，點P是BC邊上的動點（不與點B重合），EP與BD相交于點O．
（1）當P點在BC邊上運動時，求證：△BOP∽△DOE；
（2）設（1）中的相似比為k，若AD：BC=2：3，請探究：
①當四邊形ABPE是平行四邊形時，k=

 

；
②當四邊形ABPE是直角梯形時，k=

 

；
③當四邊形ABPE是等腰梯形時，k=

 

；給出③的求解過程．

Answer 1

分析：（1）△BOP和△DOE中，已知的條件有：對頂角∠EOD=∠POB；根據AD∥BC，可得出內錯角∠OED=∠OPB，由此可判定兩個三角形相似；
（2）由于E是AD中點，且AD：BC=2：3，得BC=3DE=3AE；
①當k=1時，△ODE和△OBP全等，則DE=BP=AE，又由AE∥BP，則四邊形AEPB的對邊平行且相等，由此得出四邊形AEPB是平行四邊形；
②當k=2時，BP=2DE，此時PC=BC-BP=DE，易證得四邊形DEPC是矩形，則四邊形AEPB是直角梯形；
③當k=3時，BP=3DE，此時P、C重合，可過A、E分別作BC的垂線，設垂足為M、N；根據①②的解題過程易知BM=MN=CN=DE，可證△AMB≌△ENC，得出AB=EC（即EP），由此可證得四邊形ABPE是等腰梯形．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，∴∠OBP=∠ODE
在△BOP和△DOE中
∠OBP=∠ODE
∠BOP=∠DOE，
∴△BOP∽△DOE；（有兩個角對應相等的兩三角形相似）；

（2）解：①k=1；②k=2；③k=3；

證明：當k=3時，BP=3DE，此時P、C重合，可過A、E分別作BC的垂線，設垂足為M、N，
已知BM=MN=CN=DE，又AM=EN，∠AMB=∠ENC=90°，
∴△AMB≌△ENC（SAS），
∴AB=EC（EP），
又AD∥BC，AB與DC不平行
∴AE∥BP，AB與EP不平行，
∴四邊形ABPE是等腰梯形．

點評：此題主要考查了梯形的性質及相似三角形的判定和性質．在證明四邊形是梯形的過程中，不要遺漏證明另一組對邊不平行的步驟．